sacfur.pages.dev






Skärningspunkt mellan två linjer linjär algebra

12.

Skärningspunkten existerar \ ((2,3) \).

Skärningspunkter på grund av linje samt linje

Bestäm skärningspunkterna till \( y=2x-1 \) samt \( y=-x+5 \).

För för att hitta skärningspunkten bildar oss en ekvationssystem.

\( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & 2x-1 \\ y & = & -x+5 \\ \end{array} \right. \)

Vi löser ekvationssystem antingen genom additionsmetoden alternativt substitutionsmetoden.

AdditionsmetodenSubstitutionsmetoden
\( y=-x+5 \) ger för att \( x=-y+5 = -3+5 =2 \).Och \( y \) får oss via \( y=-x+5 = -2+5= 3 \).

Skärningspunkten existerar \( (2,3) \).

Det existerar ingen skillnad vilken teknik man använder till för att åtgärda en ekvationssystem.

detta likt ni skall titta mot existerar för att ni existerar vän tillsammans bägge lösningsmetoder. Bägge äger sina till samt nackdelar samt utgående ifrån vad liksom man önskar räkna lönar detta sig för att välja metod.

I fall var ekvationssystemet existerar enstaka sektion från enstaka större övning, tex inom fysik samt kemi, lönar detta sig för att åtgärda ekvationssystemet vid räknaren.

Exempel 1Bestäm skärningspunkten på grund av \( y=x-2 \) samt \( y=x+1 \).

Lösning

\( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x-2 \\ y & = & x+1 \\ \end{array} \right. \)

\( \begin{array}{rcl} x-2 & = & x+1 \\ 0x & = & 3\\ \end{array} \)

\( 0x=3 \) uppfylls inte någonsin. Linjerna saknar gemensamma punkter. Tittar oss närmare vid linjerna märker oss för att dem besitter identisk riktningskoefficient, sålunda dem existerar parallella.

Exempel 2Bestäm skärningspunkten på grund av \( y=x-2 \) samt \( 3y=3x-6 \).

Lösning

\( \left\{ \begin{array}{rcll} y & = & x-2 \\ 3y & = & 3x-6 & \mid /3\\ \end{array} \right. \)

alltså

\( \left\{ \begin{array}{rcll} y & = & x-2 \\ y & = & x-2 \\ \end{array} \right. \)

som ger

\( \begin{array}{rcl} \hline 0 & = & 0 \\ \end{array} \) \( 0=0 \) uppfylls ständigt därför \( x\in \mathbb{R} \) samt \( y=x-2 \) möter ekvationen.

Vi besitter oändligt tillsammans rötter.

Exempel 3Lös ekvationssystemet

\( \left\{ \begin{array}{rcll} 2a + b - c & = & -1 \\ a +5b+2c & = & 0\\ a+b+c & = & 2 \\ \end{array} \right.

\)

Lösning

Vi börjar tillsammans för att att ge ett namn till någon eller något raderna.

\( \left\{ \begin{array}{rcll} 2a + b - c & = & -1 & (1.)\\ a +5b+2c & = & 0 & (2.)\\ a+b+c & = & 2 & (3.)\\ \end{array} \right. \)

Vi kombinerar (1.) samt (3.) samt får:

\( \left\{ \begin{array}{rcl} 2a+b-c & = & -1 \\ a+b+c & = & 2 \\ \end{array} \right.

\)

som blir

\( \begin{array}{rcll} \hline 3a+2b & = & 1 & (4.) \\ \end{array} \)

När oss multiplicerar (3.) tillsammans med -2 samt kombinerar (2.) samt (3.) får vi

\( \left\{ \begin{array}{rcl} a+5b+2c & = & 0 \\ -2a-2b-2c & = & -4 \\ \end{array} \right.

Visar hur man förmå undersöka angående numeriskt värde linjer givna vid parameterform skär varandra alternativt inte.

\)

\( \begin{array}{rcll} -a+3b=-4 & (5.) \\ \end{array} \)

Vi kombinerar (4.) samt (5.).

\( \left\{ \begin{array}{rcll} 3a+2b & = & 1 \\ -a+3b & = & -4 & \mid \cdot 3\\ \end{array} \right. \)

\( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a+2b & = & 1 \\ -3a+9b & = & -12 \\ \end{array} \right. \)

\( \begin{array}{rcl} \hline 11b & = & -11 \\ b & = & -1 \\ \end{array} \)

Från raden var oss kombinerar (1.) samt (2.) får oss för att \( 3a=1-2b \) således för att \( a=\dfrac{1-2b}{3}=\dfrac{1-2(-1)}{3}=1 \).

samt \( c \) får oss enkel ifrån \( a+b+c=2 \) sålunda för att \( c=2-a-b=2-1-(-1)=2 \).

Vi besitter alltså \( a=1 \), \( b=-1 \) samt \( c=2 \).

Exempel 4På ett bondgård finns detta kor samt hönor. Totalt finns detta 50 huvuden samt 150 ben. Hur flera vilt finns detta från varenda sort?

Lösning

Vi bildar en ekvationssystem, \( k \) till kor, \( h \) till hönor.

oss vet för att \( k+h=50 \) samt för att \( 4k+2h=150 \). oss ställer upp detta vilket en ekvationssystem.

\( \left\{ \begin{array}{rcll} k+h & = & 50 & \mid \cdot (-2)\\ 4k+2h & = & 150 \\ \end{array} \right. \)

\( \begin{array}{rcl} \hline 2k & = & 50 \\ k & = & 25 \\ \end{array} \)

Antalet hönor ifrån oss via \( k+h=50 \), \( h=50-k = 50 - 25 = 25 \).

Antal kor existerar 25 st samt hönor 25 st.

Uppgifter

  1. Hur skiljer sig additionsmetoden ifrån substitutionsmetoden?

    Ska avgöra skärningspunkt mellan linjerna.

    Vilka fördelar besitter bägge lösningsmetoder?

    Additionsmetoden grundar sig vid för att man adderar ihop ekvationerna sålunda för att man klarar från för att eliminera enstaka variabel.

    I substitionsmetoden därför sätter oss in den en ekvationen in inom den andra.

    Subsitutionsmetoden existerar god då man tex skall hitta skärningspunter till funktioner.

    Additionsmetoden används inom dem datorprogrammen likt löser ekvationer.

  2. Bestäm skärningspunkterna till linjerna genom för att utnyttja dig från additionsmetoden alternativt substitutionsmetoden.
    1. \( y=3x-1 \) samt \( y=-x+3 \).

      Skärningspunkt mellan linjer i.

      Eftersom oss besitter \( y = \ldots \) samt \( y = \ldots \) lönar detta sig för att arbeta tillsammans substitutionsmetoden.

      Vi får för att \( 3x-1=-x+3 \). arbeta vidare ifrån detta.

      Skärningspunkten existerar (1,2).

    2. \( y=3x-1 \) samt \( y=2x-2 \).

      Eftersom oss besitter \( y = \ldots \) samt \( y = \ldots \) lönar detta sig för att arbeta tillsammans med substitutionsmetoden.

      Vi får för att \( 3x-1=-2x-2 \).

      arbeta vidare ifrån det.

      Skärningspunkten existerar (-1,-4).

    3. \( 2y=x+4 \) samt \( y=-x-1 \).

      Här besitter oss \( x \) samt \( -x \). Använder oss oss från additionsmetoden blir oss kvitt \( x \):na.

      Vi får för att \( 3y=3 \). arbeta vidare ifrån det.

      Skärningspunkten existerar (-2,1).

  3. Bestäm skärningspunkterna på grund av linjerna.

    1. \( -3x+y+1 =0 \) samt \( x+y+1=0 \).

      Genom för att uttrycka bägge ekvationer vilket \( y=\ldots \) får oss \( y=3x-1 \) samt \( y=-x-1 \). Via substitutionsmetoden kommer oss enkel åt skärningspunkten (0,-1).

    2. \( y=-x+3 \) samt \( 2x+2y -4= 0 \).

      Genom subsitution får oss \( 2x+2(-x+3)=0 \).

      Arbetar oss ifrån detta får oss för att dessa ekvationer saknar skärningspunkt. Linjerna existerar parallella. (Samma är kapabel oss konstatera genom för att notera bägge ekvationer likt \( y=\ldots \).)

    3. \( -2x+y+1=0 \) samt \( y=5 \).

      Substitutionsmetoden ger \( -2x+5+1=0 \).

      Skärning mellan numeriskt värde linjer numeriskt värde icke-parallella linjer liksom existerar definierade inom äger ständigt ett skärningspunkt någonstans.

      Då oss jobbar vidare ifrån detta får oss skärningspunkten (3,5).

  4. Biljettpriset till enstaka myndig plats 5 € på grund av vuxna samt 2 € på grund av små människor mot enstaka spelning. Totalt plats detta 68 personer vid ställe samt biljettintäkterna fanns 226 €. Hur flera unge samt vuxna fanns detta vid konserten?

    Då \( a \) existerar antal små människor samt \( b \) existerar antal vuxna får oss ekvationerna för att titta ut liksom \( a+b=68 \) samt \( 2a+5b=226 \).

    Ekvationssystemet besitter lösningen \( a=38 \) samt \( b=30 \).

  5. På ett landskapsbild avgränsas ett skogsområde från \(x\)-axeln samt linjerna \( y = \dfrac{4}{3}x + 8 \) samt \( y = -2x+5 \).

    Bestäm arean från skogen då enstaka fyrkant inom koordinatsystemet motsvaras från 200 m. Svara likt hektar.

    Skärningsupunkten på grund av linjerna existerar \( (-\dfrac{9}{10} , \dfrac{34}{5}) \). titta mot för att ni löser detta.

    Höjden från triangeln existerar \( \dfrac{34}{5} \).

    Basens längd existerar avståndet mellan linjernas nollställen, \( -6 \) samt \( \dfrac{5}{2} \).

    Två linjers skärningspunkt (linjär algebra) jag löste denna dock osäker vid ifall detta existerar riktig alternativt ej då detta ej finns facit.

    Längden existerar \( \dfrac{17}{2} \).

    Eftersom \( 1 \text{ äga } = 100 \text{ m } \cdot 100 \text{ m } \) existerar arean direkt likt äga \( A = \dfrac{1}{2}bh = \dfrac{1}{2} 2\cdot \dfrac{17}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{34}{5} = \dfrac{578}{5} = 115,6 \) ha.

    Alltså 116 ha.

  6. Lös ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{a}{4} +\dfrac{b}{3} & = & 1 \\ \dfrac{a}{8} -\dfrac{b}{2} & = 1 \\ \end{array} \right.

    \)

    Då oss fixar försvunnen nämnarna får vi

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a +4b & = & 12 \\ a -4b & = 8 \\ \end{array} \right. \).

    Sedan får oss \( a= 5, b=-\dfrac{3}{4} \).

  7. Bestäm längden från sidorna på grund av triangeln vilket bildas innanför linjerna \( y=-2x-2 \), \( y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \) samt \( y=2 \).

    Situationen existerar följande

    Skärningspunkterna existerar \( (-2,2) \), \( (3,2) \) samt \( (-1,0) \).

    Då oss bestämmer avståndet mellan numeriskt värde punkter, \( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \) därför får oss avstånden \( \sqrt{5} \), \( 2\sqrt{5} \) samt \( 5 \).

  8. För numeriskt värde telefonabonnemang gäller följande:
    Abonnemang AAbonnemang B
    Grundpris per tidsperiod (€)4,992,50
    Pris per 60 sekunder till diskussion (€/min)0,070,09
    1. Bilda funktioner likt beskriver detta total priset till abonnemang A samt B då man talar \( x \) minuter.

      För A: \( y=0,07x+4,99 \) samt till B: \( y=0,09x+2,50 \).

    2. Vid vilken minutmängd existerar kostar detta lika många för att prata oberoende från abonnemang.

      Lös ekvationssystemet från bägge ekvationerna. nära 124,5 minuter.

    3. Hur många kostar detta då?

      13,70 €. detta värde såsom y får.

  • Lös ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 4x+2y+z & = & 1 \\ \dfrac{1}{3}x -\dfrac{2}{3}y+z & = & 0\\ 3x+2y+z & = & 0\\ \end{array} \right.

    \).

    Lös ut ifrån någon från ekvationerna, tex \( z \) samt ersätt inom dem numeriskt värde andra \( z \) tillsammans med detta uttrycket. oss får \( x=1 \), \( y=-1 \) samt \( z=-1 \).

  • Lös ekvationssystemet

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} 3a & = & b+c \\ 2a-3b & = & -2-c \\ b-a & = & 1 \\ \end{array} \right. \)

    Lös ut ifrån någon från ekvationerna, tex \( b \) samt ersätt inom dem numeriskt värde andra \( b \) tillsammans detta uttrycket.

    oss får \( a=2 \), \( b=3 \) samt \( c=3 \).

  • 0o Celcius motsvaras vid Fahrenheitskalan från temperaturen 32 samt vattnets kokpunkt motsvaras från 212 Fahrenheit. på grund av bägge temperaturskalor gäller för att dem existerar raka.
    1. Bilda enstaka funktion likt tillsammans med vars hjälp förvandlar temperaturen inom Fahrenheit mot enstaka temperatur inom Celcius.

      Eftersom sambande existerar linjärt skall sträcka vandra genom punkterna \( (32,0) \) samt \( (212,100) \).

      Vi får nästa ekvationer, \( 0 = k \cdot 32 + b \) samt \( 100 = k \cdot 212 + b \).

      Vi får lösningarna \( k = \dfrac{5}{9} \) samt \( b = -\dfrac{160}{9} \).

      Funktionen existerar \( f(x) = \dfrac{5}{9}x -\dfrac{160}{9} \).

    2. Ray Bradburys långnovell Fahrenheit 451 besitter fått sin titel efter pappers brännpunkt.

      Hur flera grader Celcius existerar pappers brännpunkt?

      Vi får

      \( \dfrac{5}{9}\cdot 451 -\dfrac{160}{9} = 232,77\ldots \).

      Alltså 233oC.

    3. Hur flera Fahtenheit motsvaras från temperaturen -25oC?

      Skärning mellan numeriskt värde linjer - Linjär algebra.

      Vi får ekvationen

      \( \dfrac{5}{9}\cdot x -\dfrac{160}{9} = -25 \).

      Alltså -13oF.

  • För en polynom från inledande grad, \( f(x)=ax+b \), vet oss för att \( f(2)=-1 \) samt för att \( f(-1)=5 \). Bestäm värdena vid \( a \) samt \( b \) genom en ekvationssystem.

    Ekvationssystemet är

    \( \left\{ \begin{array}{rl} -1 = & a \cdot 2 +b \\ 5 = & a (-1) +b \\ \end{array} \right.

    \)

    Ekvationerna äger rötterna \( a=-2 \) samt \( b=3 \).

  • För vilka värden vid \( a \) saknar ekvationssystemet lösningar?

    \( \left\{ \begin{array}{rcl} y & = & x-1 \\ y & = & ax+a \\ \end{array} \right. \)

    För för att ekvationssystemet skall sakna lösningar skall linjerna artikel parallella.

    eftersom den en linje besitter riktningskoefficienten \( 1 \) därför måste den andra linje äga identisk riktningskoefficent därför för att linjerna existerar parallella.

  • För ett triangel gäller för att mittpunkterna till sidorna äger koordinaterna \( (0,5) \), \( (-1,1) \) samt \( (2,2) \).Bestäm hörnpunkterna på grund av triangeln.

    Vi namnger hörpunkterna tillsammans \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) samt \( (x_3, y_3) \).

    För mittpunkter gäller \( (\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}) \)

    Vi får ekvationerna \( \dfrac{x_1+x_2}{2}=0, \dfrac{x_2+x_3}{2}=-1 \ldots \) (totalt 6 st ekvationer.)

    Då oss löser ekvationssystemet tillsammans samtliga ekvationer får oss punkterna \( (-3,4) \), \( (3,6) \) samt \( (1,-2) \).